5. 9
Sin x y’+ cos x y = cos 2x
sinx Y = 2sin(x)cos(x) /2 + C
Y =cosx + C/ sin x
10
Xy’+ y =2x
(yx)’ = 2x
Yx = x^2 +c
Y = x + c/x
11
(xy’-y)/x^2 = e^-x
(Y/x)’ =e^-x
y/x =-1/(x(e^x))+ C
Y = -1/e^x + xC
12
Y’=0.1y-150
a) Y(0) = 2000
Y’= 200-150=50 (dyr per år)
b) Y’-0.1Y=-150
Y=15+C e^0.1x
2000=1500+C
Y= 1500 + 500e0.1x
Y(10)=1500+500e=2859 (dyr)
c) 1000=1500 + C
C=-500
Dyr vil dø ut...
19
Lim(x-> 10^100) Y(x)=20
T(0)=80
T’(0)=3
T’=k(20-T)
a) k=3/(20-80)=-0.05
T’=k(20-T)
T’+kT=k20
T(x)=20+Ce^(-x/20)
60=20+C
T(x)=20+60e^(-x/20)
b) 30=t(x)
x=-20Ln(1/6)= 35.8
om 35 min og 10 sec er temperaturen 30grader
c) Lim(x->10^100)T(x) = 20
Temperaturen vil nærme seg 20 grader cercius.
21
D(0)=2500
D’(0)=200
D’=kD
K=0.2
a) D’(anntall dyr per år)=0.2(proporsjonalitetskonstanten)D-200(anntall dyr som blir drept per år)
b) D’-0.2D=-200
D=1000+ Ce^0,2x
2500=1000+c
C=1500
D(x)=1000+1500e^0,2x
c) 4500=1000+e^0.2x
x= ln(3500/1500)/0.2
x=4,23 (år)
Om 4 år og 3 måneder har bestanden plassert 4500 dyr.
d) D’-0.2*4500=-200
D’=700 (dyr per år)
e) C=-500
Dyrestammen vil dø ut om 3 år og 5 måneder.
57
a) Y’=1/x
Y=Ln|x| + C
b) 4=ln|e|+C
Y=Ln|x|+ 3
c) Y’(x)=1/X
Y’(e)= 1/e
4=e/e + b
B=e
T(x)=x/e+3
58
a) Y’=0.12e-0,04x
Y=-3e-0,04x + C
b) 100=-3+ C
C=103
Y(x)=-3e-0,04x + 103
c) Y’=0.12
59
Y’=3sinx-4cosx
a) Y=-(3cosx+4sinx) + C
b) 5=-(3*0 + 4*1) + C
C= 9
Y(x) =-(3cosx+4sinx) + 9
c) Y’=3sinx-4cosx
Y’(п/2)=3*1-4*0=3
5=3(п/2)+b b=(п/2)
T(x)=3x+(п/2)
d) Y=5sin(x+3.785)+ 9
60
a) (ye-x)’=y(e-x)’+y’ e-x= y’e-x-ye-x
b) (ye-x)’= e-x
ye-x= -e-x + C
Y=-1 + Cex
c) 2=-1+ C C=3
d) Y=3ex-1
61
a) (ye-xsinx)’=y’e-xsinx+y(e-x)’sinx+y e-x (Sinx)’=y e-xsinx-y e-xsinx+y e-x cosx=y’e-xsinx +y e-x(cosx-sinx)
b) y’e-xsinx +y e-x(cosx-sinx) = sin2x
(ye-xsinx)’ =sin 2x
ye-xsinx =-(cos2x)/2+C
Y=(ex/2sinx)(2C-cos2x) eller Y=-ex/2sinx+exsinx + Cex/sinx
c) eп/2 =(eп/2/2sin(П/2) )(2C-cos(п) )
eп/2 = eп/2(2c+1)/2
2=2C+1 C=1/2
63
L*I’+R*I=U
I’+(R/L)I=U/L
I(X)=U/R+Ce-RX/L
65
a) Y’=0,04y-2000
Y’=antall dyr per år
0,04 er antall dyr per år i området(vekstfaktor) [vesken er proporsjonal med antall dyr]
20 000 må vi trekke fra, siden det er antall som blir skutt årlig.
b) Y’-0,04y=-2000
Y=50 000+Ce0,04x
20 000= 50 000 +C C=-30 000
Y=50000-30 000e0,04x
Om 12 år og 9 måneder vil det bli tomt for egler dersom man holder denne holdningen så intenst.
c) Y=20 000+ e0,04x
Den vil holde et nesten konstant antall dyr, den vil holde seg over lang tid med 20 000 dyr
68
Y(0)=10 000
Y’(0)=0.03
Y’=0.03Y -200
a) Y’(0)(antall dyr per år)=0.03(prosent i forhold med antallet)Y -200(minus de som blir drept)
b) Y’=0.03Y -200
y=6667+Ce^(0,03x)
C=10 000-6667= 3333
Y(x)=6667+3333e^0.03x